Projeté orthogonal

Rappel

Le projeté orthogonal d'un point \(\text C\) sur une droite \((\text A\text B)\) est le point d'intersection entre la droite  \((\text A\text B)\) et la perpendiculaire à  \((\text A\text B)\)  passant par \(\text C.\)

Propriété

Soit \(\text A,\text B,\text C\) trois points ( \(\text A\) et \(\text B\) distincts).
Si \(\text H\) est le projeté orthogonal du point \(\text C\) sur la droite \((\text A\text B)\) , alors \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text C}=\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text H}\) .

Remarque

Les vecteurs \(\vec{\text A\text B}\) et \(\vec{\text A\text H}\) sont colinéaires. Voici les deux configurations possibles.

• Si \((\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})\) est aigu,  \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text C}=\text A\text B\times \text A\text H\) .

• Sinon  \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text C}=-\text A\text B\times \text A\text H\) .